4.6 Заключение к главе Приведенные в этой главе определения фрактальной размерности могут показаться несколько искусственными. Слишком уж привычны и, как кажется, естественны целочисленные 0, 1, 2, 3 размерности геометрии Эвклида. Наличие в Природе сложных структур (кривая Коха, и множество Кантора, форма снежинок и структура турбулентного движения, временные ряды характеризующие процессы в биологических системах и структура стекол и т.д.), описание которых в рамках геометрии Эвклида оказывается невозможным, побудило математиков Феликса Хаусдорфа и Абрама Безиковича ввести дробные размерности. Это и послужило основанием Бенуа Мандельброту для создании геометрии фракталов - нового направления в математике. Однако при описании реальных открытых систем образы чистой математики порой противоречат физическим представлениям. Так, например, бесконечность длины кривой Коха и бесконечная малость элементов множества Кантора, бесконечная длина береговой линии и самоподобие структуру турбулентного движения, во многом противоречат физическим представлениям. Действительно, как геометрия Евклида, так и геометрия фракталов основывается на моделях сплошной среды. При этом математическое понятие точки, которая не имеет размера, заменяется физическим понятием точки сплошной среды. Ее размеры малы по сравнению с характерными масштабами рассматриваемой системы, однако, точка содержит много элементов, в частности, атомов и молекул. Минимальные обьекты геометрии фракталов не могут быть меньше физически бесконечных малых масштабов сплошной среды. Это относится как кривой Коха и множеству Кантора, так и физическим обьектам, например, к снежинкам и турбулентному движению. Ведь несмотря на тонкую структуру снежинок их минимальные масштабы являются макроскопическими, т.е. значительно превышают физически бесконечно малые масштабы. Минимальный масштаб в развитой турбулентности в теории Колмогорова не может быть меньше соответствующего физически бесконечно малого масштаба длины. Это ограничивает сверху значение числа Рейнольдса при гидродинамическом описании (Климонтович, 1995). Изложенное дает основание, наряду с Геометрией фракталов, развивать и Физику фракталов. Одним из важных моментов последней является учет структуры сплошной среды. Это позволяет, в частности исключить бесконечности, возникающие, например, в теории фазовых переходов второго рода, ограничить принцип самоподобия в теории турбулентности и т.д. В этом отношении физика фракталов, основанная на идеях и методах физики открытых систем, является альтернативной геометрии фракталов. Естественно, однако, что успешное развитие теории сложных пространственно-временных структур может проводиться на основе сочетания результатов как геометрии, так и физики фракталов. Именно на этой почве будет построено дальнейшее изложение. При этом новые идеи, понятия и методы будут вводится на конкретных физических примерах. Именно так, на примере низкочастотных шумов, будет оправдано введение степенных и. более того, логарифмических законов. Именно так, будет установлена необходимость перехода от классических дифференциальных и интегральных уравнений к уравнениям с дробными производными и дробными интегралами
Ю.Л. Климонтович. Парадоксы квантовой теории
19. 15. Мост к физике фракталов
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_231.htm
Ю.А. Данилов. Красота фракталов
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_317.htm