Первую самостоятельную научную работу - усиление, а затем и обобщение закона двойственности Александера, Л.С. Понтрягин делает в 1927 г., в возрасте 19 лет. Для доказательства он использовал введенный ранее Брауэром коэффициент зацепления. Это позволило придать теореме двойственности более алгебраический и более эффективный характер:
на место негативного свойства цикла (негомологичность нуль) было поставлено позитивное свойство - существование другого цикла, зацепленного с первоначальным. Использование коэффициентов зацепления для доказательства теорем двойтсвенности оказалось необычайно удачной находкой: с этого момента начинается первый большой цикл топологических работ Л.С. Понтрягина, завершающийся в 1932 г. доказательством классического результата - знаменитого закона двойственности, связывающего группы гомологий любого ограниченного замкнутого множества, лежащего в евклидовом пространстве, с группами гомологий его дополнения. Общематематическое значение закона двойственности Понтрягина не исчерпывается влиянием, оказанным этой теоремой на дальнейшее развитие топологии: не менее важным является то обстоятельство, что теорема Понтрягина послужила поводом для построения Львом Семеновичем общей теории характеров коммутативных топологических групп. Эта теория является не только исторически первым действительно выдающимся достижением в новом математическом направлении - топологической алгебре - но и одним из фундаментальных продвижений всей математики XX столетия