Известно, что если по методу Лагранжа раскладывать в непрерывную дробь корень уравнения второй степени, то эта непрерывная дробь будет периодической и что то же, будет иметь место для корня уравнения любой степени, если этот корень является корнем рационального множителя второй степени предложенного уравнения. В этом случае уравнение имеет по меньшей мере еще один периодический корень. И в том, и в другом случае непрерывная дробь, может быть, впрочем, чисто периодической или смешанной, но в случае, когда последнее обстоятельство имеет место, существует хотя бы одно преобразование, при котором один из корней становится чисто периодическим. Когда некоторое уравнение имеет два периодических корня, соответствующее одному рациональному множителю второй степени, то между этими двумя корнями существует довольно странное соотношение, которое, кажется, еще не было отмечено; оно может быть выражено в виде следующей теоремы
Теорема Если один из корней некоторого уравнения какой-нибудь степени представляет собой чисто периодическую непрерывную дробь, то уравнение непременно имеет другой периодический корень, получающийся делением отрицательной единицы на непрерывную дробь, написанную в обратном порядке
Доказательство Для определенности возьмем период в четыре члена, так как ход вычисления показывает, что тот же результат получится и при допущении большого числа членов в периоде. Пусть один из корней некоторого уравнения какой-нибудь степени выражается так:

Уравнение второй степени, которому принадлежит этот корень и который, следовательно, содержит его сопряженный корень, будет

откуда последовательно получаем:


Это следовательно, - опять уравнение второй степени, которое дает оба корня, о которых идет речь; но, неограниченно подставляя в правую часть значение х, мы получаем

это, стало быть, - второе значение х, определенное этим уравнением; как видим, оно равно -1, деленное на первое значение, написанное в обратном порядке.
В предыдущем мы предполагали, что рассмотренный корень больше единицы; но если

То заключаем, что для одного из значений 1/x  имеет место

И по предыдущему другое значение 1/x  будет

Откуда выводим для другого значения х

или

что опять точно соответствует нашей теореме.
Пусть А - какая-нибудь чисто периодическая непрерывная дробь, а В - непрерывная дробь, которая получается при перестановке периода в обратном порядке.
Мы видели, что если х = А   - один из корней некоторого уравнения, то оно непременно имеет и корень х = -1/B.
Если А положительно и больше единицы, то -1/B отрицательно и заключается между 0 и -1; и обратно, если А отрицательно и заключается между 0 и -1, то -1/B положительно и больше единицы.
Таким образом, когда один из корней уравнения второй степени есть чисто периодическая непрерывная дробь, большая единицы, второй корень непременно заключается между 0 и -1; и, наоборот, если первый корень заключается между 0 и -1, то второй непременно положителен и больше единицы.
Можно доказать, что, обратно, если один из двух корней уравнения второй степени положителен и больше единицы, а второй заключается между 0 и -1, то эти корни выражаются в чисто периодических непрерывных дробях.
Действительно, пусть все время А - некоторая чисто периодическая непрерывная дробь, положительная и большая единицы, а В - чисто периодическая непрерывная дробь, получаемая из А обращением периода, также положительная и большая, чем единица.
Первый из данных корней не может иметь формы
x = p + 1/A,
Так как тогда, в силу нашей теоремы, второй корень должен быть
x = p + 1/(-1/B) = p - B,
а p - B  будет заключаться между 0 и -1 лишь тогда, когда целая часть B  равна p, в таковом случае первое значение будет чисто периодическим.
Первое значение х, кроме того, не может быть равно
x = p + 1/ (q + 1/A), так как тогда другим значением будет
x = p + 1/ (q  - B)  или x = p - 1/ (B - q);
Но чтобы значение заключалось между 0 и -1, необходимо прежде всего, чтобы 1/ (B - q)  равнялось p плюс некоторая дробь.
Необходимо, следовательно, чтобы B - q было меньше единицы, а это требует, чтобы В было равно q плюс некоторая дробь;
Откуда видно, что p и q  должны быть соответственно равны двум  первым членам периода  В  или двум последним членам периода А; так что, вопреки предположению, значение x = p + 1/ (q + 1/A) будет чисто периодическим.
Аналогичным рассуждением докажем, что периоду не может предшествовать большее число членов, не являющихся его частью.
Стало быть, если мы исследуем численное уравнение по методу Лагранжа, то можем быть уверенным, что оно не имеет периодических корней, если только мы не встретим преобразованного уравнения, имеющего, по крайней мере, один положительный корень, больший единицы, и другой корень, заключенный между 0 и -1;
В самом деле, если корень, за которым мы следим, должен быть периодическим, то периоды начнутся не ранее чем с этого преобразованного уравнения.
Если один из корней уравнения второй степени не только чисто периодичен, но и симметричен, т.е. если члены (неполные частные) периода, находящиеся на одинаковом расстоянии от концов, равны, то В = А, так как эти два корня будут А и -1/А;
Уравнение, следовательно, будет вида
Ax² - (Ax² - 1)x - A  = 0.
Обратно, все уравнения второй степени вида
ax² - bx - a  = 0
имеют чисто периодические и симметрические корни.
Действительно, подставляя по очереди вместо х бесконечность и -1, получим положительные результаты, тогда как, делая  х = 1 и х = 0, получим отрицательные результаты;
Откуда видно, прежде всего, что это уравнение имеет один положительный корень, большей единицы, и один отрицательный корень, заключенный между 0 и -1, и, следовательно, эти корни чисто периодические;
Более того, это уравнение не меняется при замене х на -1/x, откуда следует, что если А - один из корней, то другой равен -1/A, и, следовательно, в этом случае В = А.
Применим эти общие рассуждения к уравнению второй степени
3x² - 16x + 18 = 0.
Найдем сначала его корень, заключенный между 3 и 4. Полагая
х = 3 + 1/y,
Получим преобразованное уравнение
3y² - 2y - 3 = 0,
по форме которого мы узнаем, что значение y чисто периодическое и симметричное. Действительно, полагая поочередно
y = 1 + 1/z,  z = 2 + 1/t,  t = 1/u,
получаем преобразованные уравнения
2z²  - 4z - 3 = 0, 3t² - 4t - 2 = 0, 3u² - 2u - 3 =0,
Идентичность уравнений в u и y показывает, что положительное значение y есть

его отрицательное значение будет, следовательно,

Пара значений х будет, следовательно,


Из которых последнее, в силу известной формулы,

Преобразуем так:
Примеч. Н.Г. Чеботарева (1936г.). Метод Лагранжа решения численных уравнений состоит в следующем. Чтобы найти корень уравнения f(x) = 0, лежащий между последовательными числами а и а + 1, делают в f(x) = 0 подстановку х = а + 1/y. Получаемое уравнение f₁(y) = 0 имеет, по крайней мере, один корень, больший единицы. Делая в f₁(y) = 0 аналогичную подстановку и продолжая этот процесс, мы получаем искомый корень в виде разложения в непрерывную дробь. Лагранж предложил также прием, ускоряющий получение звеньев этой непрерывной дроби