1.5. Диссипативные структуры. Синергетика
1.5.1. Диссипативные структуры Рассматриваемые макроскопические открытые системы состоят из многих обьектов, принимаемых за элементы структуры. Эти элементы могут микроскопическими, например, атомы или молекулы в физических и химических системах. Они, однако, могут быть малыми, но все же макроскопическими. Это например, макромолекулы в полимерах. Они могут быть и не малыми телами, например, - элементарные обьекты в социологии. Именно благодаря сложности, открытых систем в них возможно образование различного рода структур, возможны процессы самоорганизации. При этом диссипация играет при образовании структур конструктивную роль.
Это кажется, на первый взгляд, удивительным, так как понятия диссипация ассоциируется с затуханием различного рода движений, с рассеянием энергии, с потерей информации. Однако, и это чрезвычайно существенно, диссипация необходима для образования структур в открытых системах.
Чтобы подчеркнуть это обстоятельство Илья Пригожин - один из создателей теории самоорганизации, ввел термин - диссипативные структуры. Это чрезвычайно емкое и точное название обьединяет все виды структур: временные, например, автоколебания в генераторе, пространственные, например ячейки Бенара на поверхности жидкости, и наконец, наиболее общие пространственно-временные структуры. Примером последних могут случить автоволны на поверхности жидкости.
Отметим общие условия необходимые для возникновения неравновесных фазовых переходов, которые приводят к образованию новых диссипативных структур:
1. Диссипативные структуры могут образовываться только в открытых системах. Только в них возможен приток энергии, компенсирующий потери за счет диссипации и обеспечивающий существование более упорядоченных состояний
2. Диссипативные структуры  возникают в макроскопических системах, т.е. в системах, состоящих из большого числа элементов (атомов, молекул, макромолекул, клеток и т.д.). Благодаря этому возможны коллективные - синергетические взаимодействия, необходимые для перестройки системы
3. Диссипативные структуры возникают лишь в системах, описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических функций. Примерами могут служить кинетические уравнения: уравнение Больцмана, уравнения газовой динамики и гидродинамики, уравнения Максвелла в электродинамике для напряженностей электромагнитного поля и т.д.
4. Для возникновения диссипативных структур нелинейные уравнения должны при определенных значениях управляющих параметров допускать изменение симметрии решения. Такое изменение выражается, например, в переходе от молекулярного теплопереноса к конвективному теплопереносу по ячейкам Бенара.
1.5.2. Синергетика Сложность открытых систем представляет широкие возможности для существования в них коллективных явлений. С целью подчеркнуть роль коллектива, роль кооперации при образовании диссипативных структур, Герман Хакен ввел термин Синергетика. Это название происходит от греческого слова, означающего совместное или кооперативное действие. По-видимому, это термин был впервые введен, и именно в этом смысле, английским физиологом Шеррингтоном более ста лет тому назад в ходе исследований мышечных систем и управления ими со стороны спинного мозга. Теперь синергетика - новое междисциплинарное научное направление. Цель синергетики - выявление общих идей, общих методов и общих закономерностей в самых разных областях естествознания, а также социологии. Более того, в рамках синергетики происходит кооперирование различных специальных дисциплин.
Из изложенного может сложиться впечатление, что столь важное для многочисленных приложений междисциплинарное научное направление теории самоорганизации - синергетика - очень молодо. В большей мере это действительно так. Однако, корни происхождения термина - самоорганизация - уходят в глубь веков. Это очень интересный вопрос. Отметим лишь следующее: В 1966 на русском языке была издана книга - Принципы самоорганизации. Это сборник докладов на Симпозиуме в университете Иллинойса (США) в 1961г. Приведем выдержку из Предисловия редактора русского издания А.Е. Лернера: Несмотря на огромную распространенность самоорганизующихся систем и настойчивые попытки ученых понять явления, происходящие в таких системах, самоорганизация остается на протяжении многих веков, пожалуй самым загадочным явлением, самой сокровенной тайной природы. - Далее читаем:…читатель не найдет в нем (в сборнике - Ю.К.) ни одной работы, которая претендовала бы на раскрытие тайн самоорганизации. - Редактор американского издания Heinz von Foerter во Введении к книге, ссылаясь на рассказ знаменитого греческого философа Платона пишет:
В доме Агафона было положено начало бессмертному первому симпозиуму по проблемам, стоящим на стыке нескольких наук, в которых приняли участие философы, государственные деятели, драматурги, поэты, социологи, лингвисты, врачи и студенты различных специальностей. -
В докладе известного специалиста У.Р. Эшби имеется высказывание, что слово - самоорганизация - может также означать - переход от плохой организации к хорошей. - Здесь, однако, не указывается как отличить плохую организацию от хорошей. Так при анализе состояния по кардиограммам - переходу от плохого к хорошему - соответствует умение различать состояния больного и здорового организма. Такое различие может быть выявлено, в частности, на основе рассмотренного ниже критерия относительной степени хаотичности состояний открытых систем.
В последние годы теория самоорганизации и синергетика испытали как бы новое рождение, но теперь уже на базе термодинамики и статистической физики. Выше было показано, что сложившиеся в последнее время понимание термина - самоорганизация - как процесса перехода от более хаотического состояния к более упорядоченному оправдано лишь, если возможен отсчет степени хаотичности от равновесного состояния. В противном случаяе, например, в биологических системах, отсчет производится от состояния, отвечающего норме хаотичности. При этом, как мы видели, понятие процесса самоорганизации существенно меняется.
1.6. Динамический хаос. Позитивная (конструктивная) роль динамической неустойчивости
1.6.1. Динамический хаос  В последние годы стало широко использоваться понятие - динамичекий хаос - для характеристики сложных движениях в сравнительно простых динамических системах. Слово - динамический - означает, что отсутствуют источники флуктуаций - источники беспорядка.
По этой причине понятие - динамическая система - отвечает определенной идеализации. Более реальное хаотическое движение с учетом и случайных источников можно назвать - физический хаос. Его примером и является, в частности, хаотическое движение атомов и молекул в состоянии равновесия.
В формировании понятия - динамический хаос - основополагающую роль сыграли работы А. Пуанкаре, Н.С. Крылова, А.Н. Колмогорова, Д.В. Аносова, Я.Г. Синая, Д. Рюэля, Д. Такенса и ряда других математиков и физиков.
Особенно следует отметить роль Н.С. Крылова (Н.С. Крылов. Работы по обоснованию статистической физики. Наука, М. 1950  
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_407.htm ). Именно он связал неизбежность перехода от обратимых движений частиц - уравнений Гамильтона, к необратимым уравнениям статистической теории. Необходимость такого перехода обусловлена динамической неустойчивостью движения частиц системы - экспоненциальным расхождением траекторий при малых изменениях начальных условий. Развитие этой неустойчивости и ведет к динамическому хаосу.
Из-за наличия динамической неустойчивости движения потенциальные возможности обратимых уравнений механики Гамильтона не могут быть использованы в полной мере. Неизбежным становится переход к хотя и приближенным, но обозримым необратимым уравнениям кинетической теории.
Исторически первый пример явного проявления динамической неустойчивости движения атомов - возникновение состояния динамического хаоса был установлен при численных расчетах в работе Эдварда Лоренца в 1963г. Лоренц исследовал решение уравнений, которые служат математической моделью конвективного движения в газах и жидкостях.
Исследование соответствующей математической модели конвективного движения проводилось численными методами. Какова же эта модель?
Конвективное движение в атмосфере описывается весьма сложными уравнениями газовой динамики. Для математического моделирования этого движения Лоренц использовал весьма упрощенную модель - систему трех обыкновенных, но нелинейных уравнений. Такого рода уравнения не имеют аналитических решений. Характер их решения может быть проведен лишь с помощью компьютеров.
Проведенный анализ показал, что при достаточно больших значениях градиента температуры поведение решения является настолько сложным, что соответствующие движения воспринимаются как хаотические. Это и дало основание ввести новое понятие - динамический хаос. Первое слово в названии подчеркивает, что речь идет о решении динамических уравнений при отсутствии случайных источников, которые могли бы вызывать хаотическое движение.
Было также установлено, что малейшие измиенения начальных условий радикально меняют характер движения. Тем самым движение оказывается динамически неустойчивым. Поскольку начальные условия могут быть заданы с лишь с конечной точностью, предсказание вида движения по заданным начальным условиям становится практически невозможным.
Уранение Лоренца представляют простейшую модель уравнений газовой динамики. Последние являются основой для описания поведения атмосферы с целью, например, предсказания погоды. При наличии же динамической неустойчивости движения в атмосфере задача долгосрочного прогноза погоды становится чрезвычайно трудной. Это является одной из основных причин частых ошибок в предсказаниях метеорологов.
При конвективном движении, происходящем при подогреве снизу, по мере увеличения градиента температуры происходит неравновесный фазовый переход. В результате сначала возникает пространственная диссипативная структура в виде ячеек Бенара. При дальнейшем увеличении градиента температуры возникают более сложные пространственно-временные структуры.
1.6.2. Различие динамического и статистического хаоса Выделим два класса систем: динамические и стохастические (или статистические). Такое разделение является условным, так как во многих случаях трудно провести различие между динамическим и статистическим хаосом. Его, однако, можно провести на основе численного эксперимента. Это оправдано, поскольку практически все представляющие интерес математические модели не имеют аналитических решений.
В основу классификации положим свойство воспроизводимости движения по заданным начальным условиям. Тогда по определению к динамическим относятся воспроизводимые, а к стохастическим - невоспроизводимые по начальным данным движения в нелинейных диссипативных системах. Естественно, что в реальном эксперименте, когда наличие шума неизбежно, все процессы в той или иной мере являются стохастическими. При численном же эксперименте возможно точное (при заданной разрядности компьютера) повторение начальных условий. Воспроизводимость решения зависит лишь от структуры математической модели.
Если уравнение не содержит случайных источников, то процесс воспроизводим  и, следовательно, движение является динамическим, хотя оно и может быть при этом очень сложным, и практически, непредсказуемым. В противном случае (при наличии тех или иных источников), когда движение невоспроизводимо по начальным данным, мы имеем дело, следовательно, со статистическим движением.
При исследовании стохастических процессов путем численного эксперимента существенно, что источники случайных чисел в компьютерах построены по определенному алгоритму и являются поэтому фактически детерминированными. Они могут рассматриваться как случайные, если характерные времена повторения для них значительно больше характерных времен релаксации рассматриваемой системы.
1.6.3. Динамическая неустойчивость системы Итак, основной особенностью динамического хаоса служит динамическая неустойчивость движения. Она выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий. Следствием ее является перемешивание траекторий, наличие которого и позволяет перейти от полного описания на основе уравнений движения всех частиц к более простым уравнений для функций, сглаженных по обьему перемешивания. Тем самым радикально меняется способ описания. Система частиц заменяется сплошной средой.
В результате такого радикального изменения меняется и временная симметрия уравнений. Именно, система обратимых уравнений механики для системы частиц заменяется необратимым уравнением для макроскопической плотности сплошной среды - кинетическим уравнением Больцмана, например. Как следствие этого возникают новые характеристики, которых нет в механике частиц. Важнейшей из них является энтропия.
После классических работ А. Пуанкаре можно выделить два этапа развития динамической теории в диссипативных системах. Первый связан с возникновением радиотехники, с необходимостью развития для этих целей теории автоколебаний. Замечательные физические и математические результаты принадлежат Ван дер Полю, Л.И. Мандельштаму, А.А. Андронову, А.А. Витту, Л.С. Понтрягину, Н.С. Крылову, Н.Н. Боголюбову и многим другим. Особое место в установлении связи динамического и статистического описания сложных движений принадлежит очень рано ушедшему из жизни Николаю Сергеевичу Крылову.
Второй этап развития динамической теории стимулировался проблемами теории турбулентности и трудностями решения задачи о долгосрочном прогнозе погоды. Фактически его началом явилась работа Эдварда Лоренца. Значение этой работы было понято, однако, значительно позже после появления статьи математиков Д. Рюэля и Ф.Такенса, опубликованной в 1971г. В ней был введен новый математический образ сложного движения в нелинейных диссипативных динамических системах - странный аттрактор.
Слово - странный - подчеркивает два свойства аттрактора.
Во-первых, необычность его геометрической структуры. Она не может быть представлена в виде кривых или плоскостей, т.е. геометрических элементов целой размерности. Размерность странного аттрактора является дробной, или, как принято говорить, фрактальной.
Во-вторых, странный аттрактор это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы.
Странный аттрактор существует только в нелинейных диссипативных системах с числом переменных больше двух. Так уравнения Лоренца представляют систему трех нелинейных диссипативных уравнений. Странный аттрактор для уравнений Лоренца называется гиперболическим.
Напомним, что автоколебания, в генераторе Ван дер Поля описываются системой двух уравнений. В этом случае имеются лишь простые аттракторы - состояния покоя (точка) и предельный цикл (замкнутая кривая). Для возможности существования странного аттрактора необходимо усложнение генератора Ван Дер Поля. Оно может быть осуществлено различными способами.
Один из них принадлежит В.С. Анищенко и В.В. Астахову. Они предложили так называемый генератор с инерционной нелинейностью. Такой генератор описывается системой трех дифференциальных уравнений, которые содержат два управляющих параметра: параметр обратной связи и характерный временный параметр, определяющий степень запаздывания.
Результаты физического и численного экспериментов показали следующее. При фиксированном времени запаздывания по мере увеличения параметра обратной связи в генераторе возникает последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний - бифуркаций Фейгенбаума. Так происходит до некоторого критического значения параметра обратной связи. При значениях больше критического возникает странный аттрактор со сложным чередованием областей динамического хаоса и порядка. При этом в широкой области значений параметров наблюдалась достаточная близость результатов физического и численного анализа. Это соответствие нарушается, однако, вблизи критических точек - точек бифуркации, где динамическая математическая модель генератора оказывается недостаточной.
(В.С. Анищенко. Знакомство с нелинейной динамикой)
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_402.htm
1.6.4. Конструктивная (позитивная) роль динамической неустойчивости Подведем некоторые итоги. Мы видели, что в сравнительно простых динамических системах существуют чрезвычайно сложные движения, которые воспринимаются как хаотические. Это и дало основание для введения новых понятий: странный аттрактор и динамический (или детерминированный) хаос. Слово - хаос - является, как правило, негативным как в физике и биологии, так, например, и в экономике. Это понятие, однако, как уже отмечалось выше, очень многогранно. Так жизнь невозможна как при полном хаосе, так и при полном порядке. Для нормального организма нужна некоторая норма степени хаотичности.
Покажем, что динамическая неустойчивость может играть в физике открытых систем и конструктивную роль.
Начнем с иллюстративного примера из социологии.
Представим себе, что происходит лекция по курсу - Физика открытых систем - для слушателей, которые сьехались из различных областей России. Предположим, что лекция подошла к концу, исчерпаны все вопросы. Примем это состояние слушателей за начальное.
Рассмотрим два возможных варианта из дальнейшего движения.
1. Слушатели после окончания лекции перемещаются вместе, не удаляясь друг от друга на значительные расстояния.
2. Слушатели разьезжаются по местам работы и жительства - разбегаются экспоненциально. Иными словами движение слушателей становится динамически неустойчивым.
Какой из этих двух вариантов движения в большей мере способствует  использованию полученных во время лекций знаний? Первый вариант полезен, в определенной мере, так как позволяет продолжить обсуждение затронутых в лекции вопросов. Несомненно, вместе с тем, что лишь второй вариант движения, когда - экспоненциальное расхождение траекторий -, т.е. - динамическая неустойчивость - траекторий слушателей, позволяет широко распространить полученные на лекциях знания и, тем самым, способствует научному прогрессу.
Этот пример демонстрирует, что динамическая неустойчивость движения может и не вести к - хаосу -, а играть позитивную и конструктивную роль. Вернемся после этого иллюстративного примера к физической системе. Рассмотрим разряженный газ. Это означает, что обьем атома или молекулы газа гораздо меньше среднего обьема, который приходится на одну частицу. Представим атомы в виде абсолютно упругих шариков. Такая модель во многих случаях оказывается вполне оправданной.
С точки зрения механики для описания эволюции газа надо использовать систему уравнений для всех его атомов. Такая задача непосильна даже для самых мощных компьютеров. В чем же выход? Как же найти способ описания неравновесных процессов в газе - в системе, состоящей из огромного числа частиц? Приближенное решение такой задачи возможно именно благодаря конструктивной роли динамической неустойчивости движения атомов газа. Действительно, благодаря динамической неустойчивости движения - экспоненциальному разбеганию траекторий, происходит перемешивание траекторий в фазовом пространстве. Это открывает возможность ввести понятие - сплошная среда - и использовать вместо микроскопических уравнений движения частиц газа приближенные уравнения для макроскопических функций. Атомарная структура системы принимается во внимание при определении понятия - точка сплошной среды -. Для этого необходимо конкретное определение физически бесконечно малых масштабов времени и длины и соответствующего физически бесконечно малого обьема, который и играет роль обьема - точки - сплошной среды. Естественно, что такое определение должно быть согласовано с определением минимальной области перемешивания и минимального времени развития динамической неустойчивости.
1.7. Неравновесные фазовые переходы
1.7.1. Управляющие параметры Итак, термином - хаос - характеризуют самые различные виды сложных движений. Во многих случаях, как мы видели, хаотическое движение очень трудно отличить от упорядоченного, но очень сложного движения. По этой причине возникает необходимость в критериях относительной степени упорядоченности или хаотичности различных движений в открытых системах. При этом оказывается очень важным выбор управляющих параметров.
Выше уже было отмечено, что выбор управляющих параметров представляет во многих случаях самостоятельную задачу. При этом возможны, естественно, ошибки. В связи с этим критерии степени упорядоченности должны содержать и возможность контроля правильности сделанного выбора управляющих параметров.
Приведем примеры. В лазерах управление может осуществляться путем изменения уровня накачки, т.е. вклада энергии, за счет которой создается инверсная заселенность. В классических генераторах накачке соответствует так называемый параметр обратной связи.
При конвективном движении управляющим параметром служит градиент температуры. При переходе от ламинарного течения к турбулентному управление может осуществляться путем изменения разности давления на концах трубы.
В медицине роль управляющих параметров могут выполнять лекарства. Наблюдение за состоянием больного позволяет контролировать правильность выбора лекарств. Роль управляющего параметра играет и скальпель хирурга. Управляющим параметром может служить и время выздоровления - время, в течение которого организм без внешнего вмешательства возвращается к норме
1.7.2. Примеры неравновесных фазовых переходов Представим себе снова слой жидкости, который подогревается снизу. Конвективное движение выражается в том, что более нагретые элементы жидкости перемещаются вверх, а более холодные - вниз. При достаточно малых градиентах температуры перенос тепла определяется за счет теплопроводности. Это молекулярный - неорганизованный процесс передачи тепла. Он не сопровождается упорядоченным гидродинамическим движением, которое могло бы, подобно регулировке уличного движения, управлять переносом тепла.
Ситуация существенно меняется, когда градиент температуры превышает некоторое критическое значение. Изменение проявляется в том, что в жидкости возникает упорядоченное макроскопическое движение. Оно и называется конвективным. В результате происходит саморегулировка теплового потока - по одним каналам (по осевым областям ячеек Бенара) более нагретые элементы перемещаются вверх, а по другим (по краям ячеек) более холодные элементы перемещаются вниз. Таким образом, распределение встречных тепловых потоков становится упорядоченным.
Эта ситуация напоминает регулировку встречных потоков при уличном движении. Есть, однако, и существенная разница. Действительно, регулировка уличного движения регламентируется правилами уличного движения. При конвективном же движении имеет место процесс самоорганизации. Задается лишь градиент температуры. Перестройка же движения происходит благодаря внутренним свойствам самой системы. Внешне результат этой перестройки проявляется в том, что на поверхности жидкости появляется диссипативная пространственная структура - ячейки Бенара.
Внутри ячеек жидкость поднимается вверх, а по краям опускается вниз. Благодаря такой перестройке обеспечивается большая пропускная способность, чем при молекулярном - неупорядоченном теплопереносе. Появление новой структуры можно рассматривать как неравновесный фазовый переход.
Другим примером неравновесного фазового перехода может служить возникновение когерентного электромагнитного излучения в квантовых оптических генераторах - лазерах.
Наконец, еще один пример неравновесного фазового перехода - переход от стационарного ламинарного течения к стационарному турбулентному течению. Об этом уже кратко упоминалось выше. Для получения более обоснованных ответов и нужны, как уже говорилось, количественные степени упорядоченности (или хаотичности) различных состояний открытых систем.
Неравновесные фазовые переходы гораздо разнообразней, чем равновесные. Они играют огромную роль не только в физических, но и в химических и биологических процессах. Все больше осознается роль неравновесных фазовых переходов и в социальных системах и в экономике.
1.8. Критерий относительной степени упорядоченности открытых систем. S-теорема Среди различных макроскопических функций только энтропия S обладает совокупностью свойств, позволяющих использовать ее в качестве меры неопределенности (хаотичности) при статистическом описании процессов в макроскопических системах. Энтропия первоначально была введена в термодинамике, как функция состояния, изменение которой определяет количество переданного системе тепла dQ = TdS. Это равенство выражает второй закон термодинамики для квазистатических, т.е. обратимых процессов. При обратимом адиабатическом процессе энтропия неизменна.
Больцман дал статистическое определение энтропии как для равновесных, так и неравновесных (необратимых) процессов и доказал Н-теорему.
Она гласит: При временной эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния. Поскольку энтропия является мерой неопределенности (хаотичности), то по теореме Больцмана при временной эволюции к равновесному состоянию степень хаотичности монотонно возрастает и имеет максимальное значение в состоянии равновесия.
В процессе эволюции к равновесному состоянию во внешне замкнутой системе по уравнению Больцмана средняя энергия остается неизменной. Сохранение средней энергии в процессе эволюции не является, однако, общим свойством всех кинетических уравнений.
Так для броуновского движения она меняется в процессе эволюции к равновесному состоянию. По этой причине Н-теорема Больцмана неприменима непосредственно для  этого случая. Роль энтропии при броуновском движении играет функция, которая является аналогом термодинамической свободной энергии при неравновесных процессах. Однако свободная энергия не обладает набором свойств, позволяющих ей служить мерой неопределенности состояния системы. Таким набором обладает только энтропия.
Естественно, что критерий относительной степени упорядоченности должен быть общим. Нет основания ограничиться лишь классом систем, для которых в процессе эволюции средняя энергия сохраняется. Как же решить эту проблему?
Поскольку энтропия - единственная функция, обладающая свойствами меры хаотичности, остается лишь одна возможность. Надо провести переопределение энтропии так, чтобы средняя энергия оставалась в процессе эволюции неизменной.
Сформулируем критерий относительной степени хаотичности на примере эволюции стационарных состояний открытой системы при медленном изменении значений управляющих параметров. Впервые этот критерий был сформулирован на конкретных примерах (Климонтович, 1983, 1984) и получил название S-теорема. Позже была дана общая формулировка этого критерия для сравнения относительной степени упорядоченности непосредственно по экспериментальным  данным.
Формулировка и физическое сожержание критерия S-теорема будет дано в следующей главе. Здесь же лишь еще раз отметим, что этот критерий может быть использован как на основе уравнений расссматриваемой модели, так и непосредственно по экспериментальным данным. его эффективность была, в частности, продемонстрирована на примере исследования изменения кардиограмм при стрессовом воздействии (http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_402.htm)
1.9 Является ли турбулентное движение более хаотичным, чем ламинарное? Понятие турбулентное движение было введено в науку более ста лет назад. Однако,  до недавнего времени не было убедительного ответа на вопрос: какое из двух движений ламинарное или турбулентное являются более хаотическим? Подавляющему числу исследователей представляется почти очевидным ответ: ламинарное движение является более упорядоченным. При этом, однако, происходит смешение понятий - сложность и упорядоченность.
Большая сложность турбулентного движения видна, как говорят, и невооруженным глазом. Однако, для определения относительной степени упорядоченности необходимо использования критерия относительной степени упорядоченности. Расчет на основе S-теоремы позволил конкретизировать общие результаты на случай перехода от ламинарного течения в трубе к стационарному турбулентному течению.
При этом за состояние физического хаоса по предложению принимаем ламинарное течение. Это будет оправдано ниже. Роль эффективной функции Гамильтона играет средняя кинетическая энергия при ламинарном течении. Для выполнения равенства этой энергии при ламинарном и турбулентном течениях ламинарный поток надо - подогреть -.
При этом разность температур определяется суммой квадратов диагональных элементов тензора напряжений Рейнольдса. Поскольку, напряжения Рейнольдса характеризуют коллективные степени свободы, возможна следующая трактовка последнего равенства. Оно показывает. Что часть теплового (хаотического) движения ламинарного течения при переходе к турбулентному движению заменяется коллективными степенями свободы. Это и оправдывает выбор напряжений Рейнольдса в качестве параметра порядка при турбулентном течении.
Все сказанное оправдывает выбор ламинарного потока в качестве состояния физического хаоса.
Таким образом, по мере развития турбулентности доля хаотического движения уменьшается, а доля более упорядоченного - растет. Это, как мы увидим, и отражается в уменьшении энтропии.
Таким образом, энтропия турбулентного течения меньше, чем ламинарного. Это и означает. Что турбулентное течение более упорядоченно. Роль управляющего параметра играет здесь разность давлений на концах трубы. Она связана с числом Рейнольдса.
При нулевом значении разности давлений жидкость находится в состоянии теплового равновесия, когда степень хаотичности максимальна. Это еще один важный пример физической системы. Когда за точку отсчета степени хаотичности можно принять равновесное состояние. Другим примером служит генератор Ван дер Поля.
Все состояния при отличной от нуля разности давления более упорядочены. Это и дает основание, в соответствии с изложенным. Считать процесс перехода от ламинарного состояния к турбулентному примером процесса самоорганизации. Это, однако, не означает, что степень упорядоченности по мере увеличения числа Рейнольдса растет монотонно.
Заметим, что большая организованность турбулентного течения по сравнению с ламинарным проявляется также в следующем.
При ламинарном течении перенос импульса в потоке от слоя к слою осуществляется молекулярным механизмом - независимыми изменениями импульса отдельных частиц газа.
В противоположность этому. При турбулентном течении передача импульса от слоя к слою является процессом коллективным. Это можно выразить словами: индивидуальное. Неорганизованное движение при ламинарном течении сменяется при переходе к турбулентному течению коллективным и, следовательно, более высокоорганизованным сопротивлением.
Это выражается в том, что коэффициент турбулентной вязкости много больше соответствующего коэффициента вязкости при ламинарном потоке.
Большая упорядоченность турбулентного движения подтверждается также расчетом производства энтропии.
1.10 Уменьшение производства энтропии при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации
1.10.1 Принцип минимума производства энтропии в стационарных состояниях В работах И. Пригожина по неравновесной термодинамике сформулирован - Принцип минимума производства энтропии в стационарных состояниях -. Это несомненно очень ценный инструмент исследования термодинамических процессов. Однако, справедливость этого Принципа была доказана лишь в рамках линейных необратимых процессов. Оставался открытым вопрос: Можно ли обобщить Принцип Пригожина на случай нелинейной термодинамики необратимых процессов. Проведенные исследования показали (см. например,  Р.Л. Стратонович. Нелинейная неравновесная термодинамика. Наука, М., 1985), что такой возможности в общем случае нет.
При формулировке Принципа Пригожина рассматривается случай временной эволюции. Выше было показано, что в открытых системах существенную роль играет и другой вид эволюции. Речь шла об эволюции стационарных состояний нелинейной диссипативной открытой системы при достаточно медленных изменениях управляющих параметров. Именно для такого вида эволюционного процесса был установлен критерий относительной степени упорядоченности открытой системы - критерий S-теорема.
На основе этого критерия была продемонстрирована большая организованность стационарного турбулентного течения по сравнению с ламинарным. Переход от ламинарного к турбулентному течению можно рассматривать как фазовый переход второго рода. Роль параметра порядка в этом переходе играет сумма диагональных элементов тензора напряжений Рейнольдса. Оказалось, что заключение о возрастающей степени упорядоченности от ламинарного к турбулентному можно установить и по характеру изменения соответствующего производства энтропии.
Именно при переходе от ламинарного течения к турбулентному при одинаковых значениях напряжения на стенках (при одинаковых значениях динамического числа Рейнольдса) производство энтропии уменьшается (Климонтович, Энгель-Херберт, ЖТФ, 1984). Выбор такого дополнительного условия обусловлен тем, что в отличие от энтропии, которая зависит от гидродинамической скорости, производство энтропии определяется производными гидродинамической скорости.
Сравнение производства энтропии проводится при значениях Рейнольдса больших критического, т.е. при условии. когда стационарное турбулентное движение устойчиво, а ламинарное течение неустойчиво - оно не существует при значениях чисел Рейнольдса, больших критического значения.
Проведеннные расчеты показали. то производство энтропии при том же закритическом значении числа Рейнольдса при турбулентном - устойчивом течении. меньше производства энтропии воображаемого неустойчивого ламинарного течения.
Этот результат служит еще одним признаком большей упорядоченности устойчивого турбулентного движения по сравнению с неустойчивым при этих числах Рейнольдса ламинарным течением. Это еще один признак того, что процесс перехода от ламинарного течения к турбулентному представляет собой пример процесса самоорганизации, при котором условие устойчивости открывает Природе более экономный путь развития - при устойчивом турбулентном движении скорость превращения упорядоченного движения в хаотическое - тепловое имеет наименьшее значение.
1.10.2 Принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации В работе (Ю.Л. Климонтович.Турбулентное движение и структура хаоса. М.,Наука,1990) на основе конкретного процесса - перехода от ламинарного течения к турбулентному был сформулирован - Принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации -. Он состоит в следующем.
Процесс самоорганизации представляется как фазовый переход (или последовательность фазовых переходов). В результате происходит переход в более упорядоченное, отвечающее более низкой симметрии. Принцип утверждает, что производство энтропии в новом - менее симметричном состоянии, возникшем в результате очередного фазового перехода, меньше производства энтропии старого состояния, которое мысленно продолжено в неустойчивую область. Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.
1.11. Скорость изменения энтропии по средней энергии в открытых системах Естественно, что критерий S-теорема не является единственным критерием степени упорядоченности. В следующей главе будут обсуждаться и другие критерии. Можно, однако, заранее сказать, что критерий S-теорема является наиболее общим критерием относительной степени упорядоченности состояний открытых систем, поскольку основан, фактически, на энтропийном функционале Ляпунова и, тем самым, тесно связан с условием устойчивости стационарных состояний рассматриваемой открытой системы.
Здесь отметим еще один критерий, который основан на определении скорости изменения энтропии системы по ее средней энергии. Из второго закона термодинамики для квазистатических процессов следует, что в равновесном состоянии производимая энтропия по средней энергии определяется температурой. Ниже на примере генератора Ван дер Поля будет определено изменение этой фундаментальной характеристики для эволюции стационарных состояний - по мере увеличения значения параметра обратной связи от нулевого значения, отвечающего равновесному состоянию, состоянию развитой генерации.
В этом случае по мере развития генерации производная энтропии (степени хаотичности) по средней энергии уменьшается. Это и служит демонстрацией процесса самоорганизации.
Производство энтропии по средней энергии может быть определено непосредственно по экспериментальным данным, в частности, по кардиограммам. Это позволяет по характеру изменения этой производной выявить два типа самоорганизации, отвечающих самовыздоровлению при двух - противоположных - заболеваний, вызванных стрессовым воздействием.