Библиотека Академии наук, фонд Галуа, 9-я папка, листы 59-61
Предварительные замечания
Этот мемуар был послан около семи месяцев тому назад во Французскую Академию наук и утерян теми, кому поручили его рассмотреть. Очевидно, работа не показалась интересной даже настолько, чтобы ее прочесть. Это соображение не было последним среди тех, которые удерживали автора от ее опубликования. Если он все-таки решился на это, то только из страха, что другие, более ловкие математики, работающие в той же области, завладеют плодами его длительного труда.
Наша цель заключалась в том, чтобы найти признаки разрешимости уравнений в радикалах. Мы смеем утверждать, что в чистом анализе нет вопроса более неясного и менее связанного со всеми остальными, чем этот. Новизна проблемы потребовала употребления новых названий и новых обозначений. Мы не сомневаемся, что это неудобство на первых порах оттолкнет тех читателей, кто с трудом прощает незнакомый язык даже авторам, пользующимся их полным доверием. Но в конце концов нам пришлось согласоваться с требованиями темы, важность которой заслуживает некоторого внимания.
Можно ли выразить корни данного уравнения с какими угодно численными или буквенными коэффициентами в радикалах - вот вопрос, на который мы предлагаем исчерпывающий ответ.
Если вы дадите мне уравнение, выбранное по вашему произволу, и захотите узнать, разрешимо ли оно в радикалах или нет, то единственное, что я смогу сделать, - это указать вам, каким образом можно ответить на вопрос, не предполагая, однако, что кто-нибудь займется осуществлением моих указаний. Короче говоря, требуемые вычисления практически невыполнимы.
После этого может показаться, что из предлагаемого нами решения нельзя извлечь никакой пользы. Если бы речь шла только о вычислениях, дело обстояло бы именно так. Но в большинстве приложений алгебраического анализа мы приходим к уравнениям, все свойства которых заранее известны. Зная же эти свойства и правила, которые мы далее изложим, можно легко ответить на вопрос: разрешимо уравнение в радикалах или нет. В самом деле, для подобных уравнений всегда существует некая цепь абстрактных рассуждений, определяющая все расчеты и часто делающая их ненужными. Я приведу в качестве примера уравнения, определяющие деление эллиптических функций и решенные знаменитым Абелем. Этот математик пришел к указанным уравнениям, вовсе не исходя из их численного вида. Красота и вместе с тем трудность этой теории состоят в том, что нужно постоянно предвидеть результаты и указывать ход вычислений, фактически не производя их. Укажу еще на модулярные уравнения.
(Написано в сентябре 1830 года)
Библиотека Академии наук, фонд Галуа, 12-я папка, листы 74-78
Математические науки
Рассуждения о прогрессе чистого анализа
Известно, что из всех человеческих знаний чистый анализ - область наименее материальная, наиболее логическая и единственная, полностью независимая от чувственного восприятия. Из этого многие заключают, что все разделы чистого анализа в максимальной степени согласованы и методически единообразны. Но это заблуждение. Возьмите любую книгу по алгебре, учебную или научную, и вы не найдете в ней ничего, кроме хаотического множества теорем, строгость которых представляет странный контраст с общим беспорядком. Кажется, что отдельные соображения обошлись автору так дорого, что у него уже не хватило сил объединить их и что его ум, истощенный идеями, положенными в основу труда, не в состоянии породить еще одну мысль, которая связала бы их воедино.
Если вы все-таки встретите какой-нибудь метод, какую-нибудь связь или систему, то они обязательно окажутся ошибочными и искусственными. Деление на разделы не обосновано, сопоставления произвольны, порядок условен. Эти недостатки, еще более тяжелые, чем отсутствие метода, особенно часто встречаются в учебниках, так как в большинстве случаев их авторы плохо разбираются в том, о чем пишут.
Людям, не имеющим отношения к науке, все это должно показаться очень странным, так как они обычно считают слово - математический - синонимом слова - точный -. Но они удивлялись бы не так сильно, если бы задумались над тем, что наука - всего лишь одно из множества творений человеческого разума, более приспособленного к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и познавать. В самом деле, если бы существовал ум, достаточно глубокий, чтобы сразу охватить всю совокупность математических истин, не только известных, но и всех вообще, то появилась бы возможность последовательно и как бы механически выводить эти истины с помощью единообразных методов из нескольких общих принципов; тогда исчезли бы препятствия и трудности, стоящие обычно на пути ученого, занятого исследовательской работой. Но это не так. Задача ученого более трудна и потому более прекрасна, а развитие науки менее равномерно: ее движение осуществляется посредством ряда комбинаций, в которых случай играет далеко не последнюю роль; наука живет своей естественной жизнью, напоминающей жизнь минералов, увеличивающихся за счет наращивания новых слоев. Это применимо не только к науке в целом, возникающей в результате работы многих ученых, но и к отдельным исследованиям каждого из них. Аналитики напрасно стремятся обмануть самих себя: они не выводят, они комбинируют и составляют; они постигают истину, тоже блуждая в потемках.
Всякий раз, когда затрагиваются темы, никогда ранее не разбиравшиеся, учебные и научные книги страдают одним и тем же пороком - отсутствием четкости изложения. Только очень узкий круг вопросов можно было бы разработать методически должным образом. Но достижение этой цели невозможно без глубокого знания анализа, а бесполезность всего дела отвращает тех, кто был бы в состоянии справиться с такой задачей.
Было бы несерьезно вступать в борьбу с подобными недостатками, не победив в себе личных симпатий или личной вражды по отношению к тем или иным ученым. Автор статей избегнет этих подводных камней. Если от первого его гарантирует мучительное прошлое, то глубокая любовь к науке, заставляющая уважать тех, кто ей служит, обеспечит беспристрастность и сделает невозможным второе.
В науке трудно ограничиться ролью критика, мы это делаем только против воли и по принуждению. После критической части, как только нам позволят силы, мы укажем, что, по нашему мнению, правильно. Таким образом, у нас будет возможность неоднократно обращать внимание читателя на новые идеи, касающиеся изучения анализа. Мы позволим себе занять его этими вопросами в первых же наших статьях, с тем чтобы больше к ним не возвращаться.
Когда речь идет о вещах менее абстрактных, например об искусстве, смешно помещать критические статьи перед своими собственными произведениями. Это значило бы слишком наивно признаться в том, что по существу почти всегда оказывается правдой, т.е. в том, что сам себя считаешь человеком, призванным выносить приговор по поводу того, с чем имеешь дело. Но в данном случае речь идет не о конкретных успехах, а о наиболее абстрактных идеях, доступных человеческому пониманию; в данном случае критика и обсуждение - синонимы, а обсуждать - это значит сопоставлять свои представления с представлениями других.
Итак, мы собираемся изложить в нескольких статьях наиболее общую, наиболее философскую часть своих исследований, которые из-за тысячи обстоятельств не могли быть опубликованы ранее. Мы представим только эти положения, не загромождая их примерами и дополнениями, за которыми у аналитиков обычно полностью пропадают общие идеи. Они будут изложены совершенно добросовестно, и мы честно расскажем о пути, приведшем к ним, и о препятствиях, преодоленных нами. Мы хотим, чтобы читатель разобрался в этих вопросах так же хорошо, как и мы. Когда эта цель будет достигнута, мы сможем считать, что сделали доброе дело, если не потому, что принесли непосредственную пользу науке, то хотя бы потому, что показали пример добросовестности, который до сих пор не встречался.
(Написано в Сент-Пелажи между 29 марта и 5 апреля 1832 года)
Библиотека Академии наук, фонд Галуа, 1З-я папка, листы 79-80
Здесь, как и во всех науках, каждая эпоха выдвигает свои основные задачи дня. Эти задачи приковывают внимание наиболее светлых умов как бы помимо их воли без того, чтобы (неразборчиво) главенствовал в этом состязании. Часто кажется, что одни и те же идеи возникают сразу у многих, как будто их одновременно озаряет какое-то откровение. Если поискать причину этого явления, то ее легко обнаружить, просмотрев работы тех, кто нам предшествовал, где те же идеи уже существовали хотя и без ведома их авторов.
До сих пор наука не извлекла большой пользы из этих совпадений, так часто наблюдаемых в исследованиях ученых. Недостойная конкуренция, унизительное соперничество - вот их единственные плоды. Однако в этом факте нетрудно увидеть доказательство того, что ученые созданы для изолированного существования не больше, чем все остальные люди, что они тоже принадлежат своему времени и рано или поздно начнут действовать сообща. Сколько тогда времени освободится для науки!
Сейчас аналитиков занимает много вопросов совсем нового типа. Наша задача будет состоять в том, чтобы вскрыть (связь между этими вопросами).
Библиотека Академии наук, фонд Галуа, 11-я папка, листы 67-73
Два мемуара по анализу Э. Галуа
Предисловие

Вот искренняя книга.
Монтень

Все видеть, все слышать, не терять ни единой мысли.
Сьянс, 29 сентября 1831 года