1.1. Чарльз Дарвин и Людвиг Больцман. Пути к физике открытых систем Людвиг Больцман назвал XIX столетие веком Дарвина. Он полагал тем самым, что теория эволюции Дарвина, основанная на принципе естественного отбора, является наиболее значительным открытием XIX века. Такой вывод может показаться неожиданным.
Действительно, XIX век очень богат великими открытиями в естествознании, в частности в физике. Ведь XIX век, это - век термодинамики, созданной в значительной мере трудами Сади Карно, Рудольфа Клаузиуса и Вильяма Томсона. Это век электромагнитной теории Майкла Фарадея и Джеймса Максвелла.
В XIX были заложены и основы современной молекулярно-кинетической теории материи. Одним из ее основателей, наряду с Джеймсом Максвеллом, был сам Людвиг Больцман. Именно он предложил первое кинетическое уравнение для описания необратимых процессов в газах. Оно описывает, в частности, установление равновесного состояния в газе.
При этом Больцман, фактически, радикально изменил модель макроскопической среды - разряженного газа. Вместо модели частиц газа, движение которых описывается системой обратимых уравнений Гамильтона, он использовал модель сплошной мреды в шестимерном фазовом пространстве координат и компонент импульса.
Больцман также ввел впервые и статистическое определение одной из основных характеристик термодинамики - энтропии. Он доказал знаменитую Н-теорему Больцмана, о возрастании энтропии во внешне замкнутой системе.
В связи с формулировкой Н-теоремы - сделаем одно существенное для дальнейшего замечание.
В литературе бытует мнение, что Н-теорема Больцмана справедлива лишь при условии замкнутости рассматриваемой системы. Такое утверждение не является, однако, точным. Действительно, следует различать замкнутость системы от окружающих тел - внешнюю замкнутость - и - внутреннюю незамкнутость. Только внешняя замкнутость предполагается при доказательстве возрастания энтропии в процессе эволюции к равновесному состоянию. Мы еще не раз будем возвращаться к этому вопросу.
Итак, Больцман не ставил себе задачу точного (с точки зрения механики) описания движения частиц газа. Он прекрасно понимал, что такое решение невозможно. Ведь нет точного решения даже задачи трех тел.
Больцман пошел по пути радикального изменения модели рассматриваемой системы. Вместо описания движения частиц на основе обратимых уравнений Гамильтона он представил газ в виде сплошной среды, но не в обычном трехмерном, а в 6-мерном фазовом пространстве координат и импульсов.
Таким образом, Больцман характеризует систему не заданием координат и импульсов частиц газа, а функцией распределения частиц в шестимерном пространстве координат и импульсов.
Больцман установил уравнение для этой функции распределения. Теперь это кинетическое уравнение Больцмана. Оно и по сей день является одним из основных уравнений для описания неравновесных процессов в различных системах.
- Точка - сплошной среды, хотя ее размер и считается пренебрежимо малым по сравнению с характерными масштабами рассматриваемых в кинетической теории процессов, содержит большое число частиц. При переходе от уравнений для частиц системы к кинетическому уравнению сплошной среды теряется вся информация о движении частиц в пределах - точек - сплошной среды.
По этой причине описание неравновесных процессов на уровне сплошной среды является, разумеется, приближенным. Это проявляется, в частности в том, что при описании временной эволюции к равновесному состоянию при условии - внешней замкнутости - сохраняется не точное значение энергии, а лишь ее среднее значение <Е>. Тем самым не учитывается роль флуктуаций энергии.
Именно благодаря внутренней незамкнутости становится возможным доказательство теоремы Больцмана о возрастании энтропии в процессе эволюции к равновесному состоянию. Это обстоятельство будет использовано в дальнейшем, в частности, при формулировке критерия относительной степени упорядоченности состояний открытых систем.
С учетом внутренней незамкнутости удается переформулировать Н-теорему Больцмана с использованием функционала Ляпунова, который определяется разностью энтропий равновесного и неравновесного состояний. Наличие функционала Ляпунова показывает, что равновесное состояние, отвечающее максимуму энтропии является устойчивым.
Переоценить научные заслуги самого Больцмана просто невозможно. И все же именно Больцман определил XIX век, как век Дарвина. Тем самым на первое место он поставил теорию биологической эволюции.
В чем же дело?
Во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Больцман, однако, был уверен, что развитая им теория временной эволюции газа будет обобщена и на открытые системы.
Теория эволюции Дарвина была первым шагом в теории эволюции открытых систем. Больцман был одним из немногих, кто понял важность этого первого шага. Это и определило его оценку теории Дарвина как величайшего открытия XIX века.
Таким образом, уже на пороге XX столетия стало ясно, что задача развития теории неравновесных процессов в физических и биологических системах является одной из важнейших в естествознании. Оказалось, однако, что от понимания важности проблемы до ее даже не полного решения потребовалось почти целое столетие.
Во времена Больцмана его точку зрения разделяли не многие. Да и сама теория Больцмана вызвала возражения у большинства ученых того времени. Вокруг теории Больцмана бушевали страсти. Среди его оппонентов был и величайший математик того времени Анри Пуанкаре. Он полностью отвергал теорию Больцмана.
Для иллюстрации приведем небольшой отрывок из книги И. Пригожина - От существующего к возникающему:
Пуанкаре в одной из своих работ открыто не рекомендовал изучать труды Больцмана на том основании, что посылки в рассуждениях Больцмана противоречат его, Пуанкаре, выводам! -
А. Пуанкаре, основываясь на обратимых уравнениях механики, пришел к выводу, что теория необратимых процессов и механика несовместимы. Основанием служило, в частности, то, что в механике нет функции, играющей роль энтропии.
Известно и другое высказывание Пуанкаре, приведенное в одной из статей И. Пригожина:
В этой связи забавно вспомнить слова Пуанкаре о том, что рекомендовать кому-либо прочитать работу Больцмана он не может, так как не может рекомендовать изучение доказательств, в которых выводы противоречат предпосылкам. -
Как разительно отличается от оценки А. Пуанкаре оценка работ Людвига Больцмана, данная представителем следующего поколения ученых, одним из основателей квантовой механики - Эрвином Шредингером. На стр. 161 той же книги Пригожина приведено высказывание Шредингера:
Его (Больцмана) направление мышления можно было бы назвать моей первой любовью. Никакие идеи не захватывали меня столь глубоко и вряд ли смогут захватить меня в будущем. -
Повторим, что уже на пороге XX столетия стало ясно, что развитие теории неравновесных процессов в физических и биологических системах является одной из важнейших задач естествознания.
Естественно, что возникновение Физики открытых систем было подготовлено трудами многих выдающихся исследователей. В их числе физик Людвиг Больцман, математики Анри Пуанкаре и Александр Ляпунов и, конечно, биолог Чарльз Дарвин.
Принципиальным шагом в этом направлении была развитая Альбертом Эйнштейном, Марианом Смолуховским и Полем Ланжевеном теория броуновского движения - хаотического движения малых, но все же макроскопических частиц в жидкости. Его причиной являются толчки со стороны молекул жидкости. Средняя энергия броуновских частиц, в отличие от газа Больцмана, не остается неизменной. Система броуновских частиц, таким образом, представляет пример открытой системы.
По этой причине в теории броуновского движения не удается ввести функционал Ляпунова L_S, который определяется разностью энтропий. Н-теорема Больцмана для броуновского движения не может быть использована. Здесь на сцену выступает другой функционал Ляпунова L_F, который определяется не разностью энтропий, а разностью свободных энергий. Это тоже очень важная характеристика, но все же, как мы увидим, роль функционала L_F является существенно более скромной по сравнению с - энтропийным - функционалом Ляпунова L_S. Это обусловлено тем, что только энтропия обладает совокупностью свойств, позволяющих использовать ее в качестве меры неопределенности при статистическом описании.
Теория броуновского движения была развита в начале двадцатого столетия и сразу стала рабочим инструментом при рассмотрении многих физических явлений. Однако лишь по прошествии более полувека в статистической теории открытых систем были сделаны последующие принципиальные шаги, необходимые для использования теории броуновского движения в физике открытых систем. При этом были введены и использованы новые идеи, новые образы и понятия. Об этом и пойдет речь ниже. Здесь же отметим следующее.
Большую роль в теории открытых систем играют работы А.М. Ляпунова - одного из создателей теории устойчивости движения, математика А.Н. Колмогорова, физиков Л.И. Мандельштама, А.А. Андронова, Н.С. Крылова, Л.Д. Ландау, Я.Б. Зельдовича, Н.Н. Боголюбова, И. Пригожина, Г. Хакена и многих других. К числу основоположников теории самоорганизации в открытых системах относится, несомненно, Владимир Иванович Вернадский - создатель учения о ноосфере (сфере разума).
Приступим к определению основных понятий Физики открытых систем
http://kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_417.htm